Typesetting math: 86%
0

Комплексные числа

Историю комплексных чисел легко найти в интернете, например на сайте
http://ru.wikipedia.org/wiki/Комплексное_число

Поэтому здесь мы её обсуждать не будем

Алгебраическая запись комплексных чисел

Определение. Комплексным числом называется число вида z=ai+b, где a,bR — вещественные числа, а i — мнимая единица, т.е. число, удовлетворяющее соотношению i2=1. При этом a=Rez называется вещественной, а b=Imzмнимой частями числа z.

Суммой двух комплексных чисел z=a+ib и w=c+id называется число z+w=(a+c)+i(b+d).

Произведением двух комплексных чисел z1=a+ib и w=c+id называется число zw=(a+ib)(c+id)=(acbd)+i(ad+bc), которое получается в результате стандартного раскрытия скобок с учётом равенства i2=1.

Множество всех комплексных чисел обозначается символом C.

Пример. Раскрыть скобки (1+i)2(1+2i)3.

Решение. Нетрудно убедиться, что формулы сокращённого умножения работают и в комплексном случае. Мы будем ими пользоваться.

(1+i)2=1+2i+i2=1+2i1=2i,(1+2i)3=1+32i+3(2i)2+(2i)3=1+6i128i=112i,(1+i)2(1+2i)3=2i(112i)=22i+4=422i.

Упражнения. Вычислите

1) (2+3i)(3i), 2) (1i)3(1+i)3, 3) (1+2i)2, 4) (2ii)2+(13i)3.

Оказывается, что комплексные числа ведут себя практически, как вещественные в том смысле, что результат суммы (как и произведения) не зависит от порядка слагаемых (сомножителей), приумножении скобок они раскрываются стандартным образом. Комплексные числа можно даже делить друг на друга, если, конечно, делитель не равен нулю, в том смысле, что частное тоже будет комплексным числом. Действительно, найдём комплексное число, равное отношению zw=a+ibc+id. Для этого “умножим и разделим дробь на сопряжённое число”:

a+ibc+id=(a+ib)(cid)(c+id)(cid)=(ac+bd)+i(bcad)c2+d2.

Заметим, что если w0, то либо c0, либо d0. Во всяком случае c2+d2>0. Поэтому частное двух комплексных чисел тоже будет комплексным числом:

a+ibc+id=(a+ib)(cid)(c+id)(cid)=ac+bdc2+d2+ibcadc2+d2.

Пример. Найдите частное 2i1+i.

Решение.

2i1+i=(2i)(1i)(1+i)(1i)=2i2i12=13i2=1232i.

Упражнения. Вычислите

1) 11+4i+14i, 2) (1i1+i)3, 3) (1+i)(3+i)3i(1i)(3i)3+i, 4) (i5+2i19+1)2.

Определение поля

Тот, кто не боится формализма, может попытаться доказать, что комплексные числа с операциями сложения и умножения образуют поле, т.е. алгебраическую структуру с операциями + и , которые удовлетворяют следующим аксиомам:

  1. z+w=w+z z,w,
  2. (z+w)+h=z+(w+h) z,w,h,
  3. существует нейтральный элемент по сложению 0: 0+z=z+0=z z,
  4. z существует противоположный z: z+(z)=(z)+z=0;
  5. zw=wz z,w,
  6. (zw)h=z(wh) z,w,h,
  7. существует нейтральный элемент по умножению 1: 1z=z1=z z,
  8. z0 существует обратный z1: z(z1)=(z1)z=1;
  9. (z+w)h=zh+wh z,w,h,
  10. 01.

Комплексное сопряжение

При обсуждении деления мы умножали и делили на сопряжённое. На самом деле это не просто оборот речи. На множестве комплексных чисел действительно существует такая операция и её роль в теории комплексных чисел очень важна.

Определение. Пусть z=a+ibC — комплексное число. Комплексно сопряжённым называется число ¯z=aib.

Теорема. Комплексное сопряжение является автоморфизмом поля C второго порядка в том смысле, что

  1. ¯z+w=¯z+¯w,
  2. ¯zw=¯z¯w,
  3. ¯¯z=z.

Доказательство состоит в честном вычислении по сформулированным правилам и оставляется на совесть студентов, но на экзамене придётся доказывать. Поэтому провести все вычисления очень важно.

Геометрическая интерпретация

Все давно привыкли к тому, что множество вещественных чисел можно представлять себе в виде числовой прямой, т.е. прямой, у которой отмечено положительное направление, нуль и задан масштаб (отмечена 1). Оказывается, что комплексные числа можно отождествить с плоскостью, т.е. комплексные числа принято изображать в виде комплексной плоскости, т.е. плоскости, на которой изображены вещественная и мнимая оси, расположенные перпендикулярно друг к другу. На их пересечении стоит нуль, на вещественной оси отмечена 1, а на мнимой — мнимая единица i, причём расстояние от нуля до i и до 1 совпадают (см. рис.).

Axog8L1VzCItHWt18e3hZw==

При этом число z=a+ib изображается вектором. Обратите внимание, что комплексные числа складываются по правилу сложения векторов, а сопряжению соответствуют симметрия комплексной плоскости относительно вещественной оси.

Тригонометрическая запись комплексных чисел

Если на комплексной плоскости ввести полярную систему координат, поместив полюс в нуль, а полярный луч направив вдоль положительного направления вещественной оси, то полярные координаты дадут возможность записать комплексное число в тригонометрической форме.

ZBcv7ZfhsE8vQ9p4qE9GUQ==

Определение. Рассмотрим число z на комплексной плоскости (рис.). Его полярный радиус, т.е. расстояние от z до нуля, называется *модулем} комплексного числа и обозначается как |z|. Полярный угол φ (см. рис.) называется аргументом числа z и обозначается как argz. Заметим, что модуль числа z|z| равен 1, т.е. оно будет расположено на единичной окружности и можно записать, что

z|z|=cosφ+isinφ=cos(argz)+isin(argz).

Значит,

z=|z|(cos(argz)+isin(argz)).

Это-то и есть тригонометрическая запись комплексных чисел.

Формула Муавра

Рассмотрим два комплексных числа в тригонометрической форме z=r(cosφ+isinφ),w=ρ(cosψ+isinψ) и перемножим их

zw=r(cosφ+isinφ)ρ(cosψ+isinψ)==rρ((cosφcosψsinφsinψ)+i(cosφsinψ+cosψsinφ)==rρ(cos(φ+ψ)+isin(φ+ψ),

так как по формулам тригонометрии

cosφcosψsinφsinψ=cos(φ+ψ),cosφsinψ+cosψsinφ=sin(φ+ψ).

Мы получили, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. в качестве следствия этого наблюдения получаем

Формула Муавра.

zn=(r(cosφ+isinφ))n=rn(cosnφ+isinnφ).

Формулы Эйлера

Рассмотрим комплексные числа, расположенные на единичной окружности (рис.).

0su9itKRXPSWg57uOsSN8g==

Так как модуль таких чисел равен 1, то они фактически зависят только от аргумента φ, что мы отметим в обозначении z(φ). Как мы знаем,

z(φ)z(ψ)=z(φ+ψ).

Эта формула напоминает произведение степеней с одним основанием (показатели складываются). Поэтому логично переобозначить z(φ)=wφ, где w — некоторое комплексное число. Нам хотелось бы его найти. К сожалению вычислить это число довольно сложно, но можно угадать и доказать. Оказывается w=ei. Действительно, разложим eix по формуле Тейлора

eix=1+ix+(ix)2/2++(ix)nn!==(1x22+x44!++(1)kx2k(2k)!)+i(xx33!++(1)kx2k+1(2k+1)!)==cosx+isinx.

Итак, мы получили знаменитые формулы Эйлера.

Формулы Эйлера.

eiφ=cosφ+isinφ,cosφ=eiφ+eiφ2,sinφ=eiφeiφ2i.

Показательная запись комплексных чисел

Из формул Эйлера вытекает ещё одна форма записи комплексных чисел, удобная при извлечении корней, а именно, любое комплексное число можно представить в виде z=reiφ, где r=|z|, φ=argz. Эта запись называется *показательной}.

Извлечение корней

В этом разделе мы научимся решать уравнения zn=w с известным wC и неизвестным z.Рассмотрим частный случай n=2. В вещественном случае мы решали его как z=±w, если w0 и говорили, что решений нет, если w<0. Разберём теперь простейшее квадратное уравнение z2=1 в комплексном случае. Для этого запишем 1 в показательной форме: 1=ei0 (так как arg1=0), а неизвестный z запишем как z=reiφ. Подставив такой z в исходное уравнение, получим

(reiφ)2=r2ei2φ=ei0.

Отсюда немедленно следует, что r2=1, т.е. r=1 (модуль больше или равен 0!) и 2φ=0, т.е. φ=0. Таким образом, получили единственное решение: z=1ei0=1. Что-то очень странно. Ведь мы знаем, что z=1 тоже решение. Как же мы его потеряли?

Оказывается ошибка в том, что аргумент комплексного числа определён не однозначно, а с точностью до 2π, т.е. 1=ei(0+2πk), где kZ — любое целое число. Поэтому уравнение выглядит так:

r2ei2φ=ei(0+2πk),

т.е.

2φ=2πk, kZ,

откуда

φ=πk, kZ

и получаем бесконечную серию решений zk=eiπk,kZ. Однако функция eiφ 2π-периодична, т.е. ei(φ+2π)=eiφ. Поэтому реально у нас есть только два решения: ei0=1,eiπ=1, что и ожидалось.

В общей ситуации при решении уравнения zn=w нужно действовать так.

  1. Записать w=|w|ei(argw+2πk) в показательной форме,

  2. представить z=reiφ в показательной форме, и подставить всё это в исходное уравнение

rneinφ=|w|ei(argw+2πk),
  1. приравнять модули rn=|w| и аргументы nφ=argw+2πk,

  2. выписать ответ: z=|w|ei(argwn+2πkn), r=0,1,,n1.

Важное замечание. Выражение |w| в предыдущем алгоритме обозначает арифметический корень из неотрицательного вещественного числа, и по определению равен такому положительному числу a, n-я степень которого, равна |w|: an=|w|.

Пример. Решить уравнение z3=i.

Решение. Чтобы представить i в показательной форме, отметим его на комплексной плоскости (см. рис.).

VdJ0UGizMH5DRDdRp9dkZw==

Видно, что |i|=1, argi=π/2. Поэтому уравнение приобретает вид

r3ei3φ=eπ/2+2πk,

Откуда z=eπ/6+2πk/3, k=0,1,2, т.е. множество корней третьей степени из i имеет вид

{eiπ/6,eiπ/2,ei4π/3}.

Обратите внимание, что эти корни располагаются в вершинах правильного треугольника (рис.).

Упражнения. Решите следующие уравнения

1) z3=1, 2) z3=1, 3) z3=i, 4) z4=1, 5) z4=1, 6) z4=i.