0

Комплексные числа

Историю комплексных чисел легко найти в интернете, например на сайте
http://ru.wikipedia.org/wiki/Комплексное_число

Поэтому здесь мы её обсуждать не будем

Алгебраическая запись комплексных чисел

Определение. Комплексным числом называется число вида , где — вещественные числа, а — мнимая единица, т.е. число, удовлетворяющее соотношению . При этом называется вещественной, а мнимой частями числа .

Суммой двух комплексных чисел и называется число .

Произведением двух комплексных чисел и называется число , которое получается в результате стандартного раскрытия скобок с учётом равенства .

Множество всех комплексных чисел обозначается символом .

Пример. Раскрыть скобки .

Решение. Нетрудно убедиться, что формулы сокращённого умножения работают и в комплексном случае. Мы будем ими пользоваться.

Упражнения. Вычислите

1) , 2) , 3) , 4) .

Оказывается, что комплексные числа ведут себя практически, как вещественные в том смысле, что результат суммы (как и произведения) не зависит от порядка слагаемых (сомножителей), приумножении скобок они раскрываются стандартным образом. Комплексные числа можно даже делить друг на друга, если, конечно, делитель не равен нулю, в том смысле, что частное тоже будет комплексным числом. Действительно, найдём комплексное число, равное отношению . Для этого “умножим и разделим дробь на сопряжённое число”:

Заметим, что если , то либо , либо . Во всяком случае Поэтому частное двух комплексных чисел тоже будет комплексным числом:

Пример. Найдите частное .

Решение.

Упражнения. Вычислите

1) , 2) , 3) , 4) .

Определение поля

Тот, кто не боится формализма, может попытаться доказать, что комплексные числа с операциями сложения и умножения образуют поле, т.е. алгебраическую структуру с операциями и , которые удовлетворяют следующим аксиомам:

  1. ,
  2. ,
  3. существует нейтральный элемент по сложению 0: ,
  4. существует противоположный : ;
  5. ,
  6. ,
  7. существует нейтральный элемент по умножению 1: ,
  8. существует обратный : ;
  9. ,
  10. .

Комплексное сопряжение

При обсуждении деления мы умножали и делили на сопряжённое. На самом деле это не просто оборот речи. На множестве комплексных чисел действительно существует такая операция и её роль в теории комплексных чисел очень важна.

Определение. Пусть — комплексное число. Комплексно сопряжённым называется число .

Теорема. Комплексное сопряжение является автоморфизмом поля второго порядка в том смысле, что

  1. ,
  2. ,
  3. .

Доказательство состоит в честном вычислении по сформулированным правилам и оставляется на совесть студентов, но на экзамене придётся доказывать. Поэтому провести все вычисления очень важно.

Геометрическая интерпретация

Все давно привыкли к тому, что множество вещественных чисел можно представлять себе в виде числовой прямой, т.е. прямой, у которой отмечено положительное направление, нуль и задан масштаб (отмечена 1). Оказывается, что комплексные числа можно отождествить с плоскостью, т.е. комплексные числа принято изображать в виде комплексной плоскости, т.е. плоскости, на которой изображены вещественная и мнимая оси, расположенные перпендикулярно друг к другу. На их пересечении стоит нуль, на вещественной оси отмечена 1, а на мнимой — мнимая единица , причём расстояние от нуля до и до 1 совпадают (см. рис.).

Axog8L1VzCItHWt18e3hZw==

При этом число изображается вектором. Обратите внимание, что комплексные числа складываются по правилу сложения векторов, а сопряжению соответствуют симметрия комплексной плоскости относительно вещественной оси.

Тригонометрическая запись комплексных чисел

Если на комплексной плоскости ввести полярную систему координат, поместив полюс в нуль, а полярный луч направив вдоль положительного направления вещественной оси, то полярные координаты дадут возможность записать комплексное число в тригонометрической форме.

ZBcv7ZfhsE8vQ9p4qE9GUQ==

Определение. Рассмотрим число на комплексной плоскости (рис.). Его полярный радиус, т.е. расстояние от до нуля, называется *модулем} комплексного числа и обозначается как . Полярный угол (см. рис.) называется аргументом числа и обозначается как . Заметим, что модуль числа равен 1, т.е. оно будет расположено на единичной окружности и можно записать, что

Значит,

Это-то и есть тригонометрическая запись комплексных чисел.

Формула Муавра

Рассмотрим два комплексных числа в тригонометрической форме и перемножим их

так как по формулам тригонометрии

Мы получили, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. в качестве следствия этого наблюдения получаем

Формула Муавра.

Формулы Эйлера

Рассмотрим комплексные числа, расположенные на единичной окружности (рис.).

0su9itKRXPSWg57uOsSN8g==

Так как модуль таких чисел равен 1, то они фактически зависят только от аргумента , что мы отметим в обозначении . Как мы знаем,

Эта формула напоминает произведение степеней с одним основанием (показатели складываются). Поэтому логично переобозначить , где — некоторое комплексное число. Нам хотелось бы его найти. К сожалению вычислить это число довольно сложно, но можно угадать и доказать. Оказывается . Действительно, разложим по формуле Тейлора

Итак, мы получили знаменитые формулы Эйлера.

Формулы Эйлера.

Показательная запись комплексных чисел

Из формул Эйлера вытекает ещё одна форма записи комплексных чисел, удобная при извлечении корней, а именно, любое комплексное число можно представить в виде , где , . Эта запись называется *показательной}.

Извлечение корней

В этом разделе мы научимся решать уравнения с известным и неизвестным .Рассмотрим частный случай . В вещественном случае мы решали его как , если и говорили, что решений нет, если . Разберём теперь простейшее квадратное уравнение в комплексном случае. Для этого запишем в показательной форме: (так как ), а неизвестный запишем как . Подставив такой в исходное уравнение, получим

Отсюда немедленно следует, что , т.е. (модуль больше или равен 0!) и , т.е. . Таким образом, получили единственное решение: . Что-то очень странно. Ведь мы знаем, что тоже решение. Как же мы его потеряли?

Оказывается ошибка в том, что аргумент комплексного числа определён не однозначно, а с точностью до , т.е. , где — любое целое число. Поэтому уравнение выглядит так:

т.е.

откуда

и получаем бесконечную серию решений . Однако функция -периодична, т.е. . Поэтому реально у нас есть только два решения: , что и ожидалось.

В общей ситуации при решении уравнения нужно действовать так.

  1. Записать в показательной форме,

  2. представить в показательной форме, и подставить всё это в исходное уравнение

  1. приравнять модули и аргументы ,

  2. выписать ответ: .

Важное замечание. Выражение в предыдущем алгоритме обозначает арифметический корень из неотрицательного вещественного числа, и по определению равен такому положительному числу , -я степень которого, равна : .

Пример. Решить уравнение .

Решение. Чтобы представить в показательной форме, отметим его на комплексной плоскости (см. рис.).

VdJ0UGizMH5DRDdRp9dkZw==

Видно, что , . Поэтому уравнение приобретает вид

Откуда , k=0,1,2, т.е. множество корней третьей степени из имеет вид

Обратите внимание, что эти корни располагаются в вершинах правильного треугольника (рис.).

Упражнения. Решите следующие уравнения

1) , 2) , 3) , 4) , 5) , 6) .