1

Язык процентов

Язык процентов широко используется в реальной жизни. Например:

“Рост цен на продукты будет больше инфляции –– по нашим прогнозам, он может составить до 9 за год.”

“Подорожает проезд в поезде, в плацкартных и общих вагонах тарифы увеличатся в среднем на 4,2

(обе цитаты из газеты “Комсомольская правда”).

“Основным акционером VMCEE является ТМС Partners (43,5), еще 43,5 владеют три партнера-учредителя…”

“Монополия просит установить инвестиционную надбавку 16,6 в экспортном тарифе на нефть…”

(обе цитаты из газеты “Коммерсантъ”).

В школе эта тема изучается довольно подробно, соответствующие задания представлены в ОГЭ (ранее ГИА) и ЕГЭ по математике.

Определение
Процентом (от некоторой величины) называется сотая часть этой величины.

Примеры
Один процент от массы 100 кг - это 1 кг.

Один процент от суммы 20000 руб. - это 200 руб.

Один процент от площади 17 098 246 квадратных километров (площадь Российской Федерации) - это 170982,46 квадратных километров.

Формула
Величина “ процентов от величины ” вычисляется по формуле .

Примеры
10 процентов от массы 100 кг - это кг = 10 кг.

13 процентов от суммы 20000 руб. - это руб. = 2600 руб. (13 процентов - такая ставка подоходного налога в нашей стране.)

13,84 процента от площади 17 098 246 квадратных километров - это км = 2366397,2464 км (площадь Красноярского края).

Обозначения
Процент принято обозначать символом . Соответственно процентов обозначается .

Важно понимать, что символ приобретает конкретное числовое значение, только когда указана величина, от которой берется процентов. Например, бессмысленно спрашивать, что больше, или ? 10 процентов от 1000 кг больше, чем от 100 кг.

Трудности языка процентов
Основная трудность понимания процентов связана с некоторым расхождением языка процентов и математическим действием, которое выражает этот язык. Например, мы говорим: цена на определенный продукт выросла за год на . Что это значит?

Исходная цена была . За год она увеличилась на 5 процентов от самой этой величины, т.е. на . Новая цена равна . Итак, мы говорим, “увеличилась на …”, а в итоге величина умножается на коэффициент, который, разумеется, определяется по указанному числу процентов.

Общие формулы
Величина увеличилась на процентов: было , стало , итак,

Аналогично, величина уменьшилась на процентов: было , стало , итак,

Обратная задача
Некоторая величина имела значение , затем получила значение . На сколько процентов изменилась величина?

Воспользуемся полученной формулой: . Отсюда , , в итоге

Примеры
. Бензин несколько месяцев назад стоил 30 руб. за литр, а теперь 32 руб. 50 коп. за литр. На сколько процентов подорожал бензин за этот период?

Имеем , (старая и новая цены в рублях). По формуле: (ответ округлен с точностью до сотых).

. Человек весил 97 кг, а после месяца диеты стал весить 93 кг. На сколько процентов уменьшился его вес?

По формуле: (ответ округлен с точностью до сотых, знак “минус” показывает, что величина уменьшилась на 4,12 процента).

В простых случаях вычисления можно производить устно - надо понимать, на сколько сотых от себя самой увеличивается или уменьшается величина.

Например, было 100 руб., а стало 120, сумма увеличилась на 20 сотых от исходной величины, т.е. на 20 процентов.

Но в обратную сторону посложнее: если было 120 руб., а стало 100, то сумма уменьшилась на 20 руб. Надо смотреть, сколько сотых составляют 20 руб. от исходной суммы в 120 руб.: (ответ округлен). Т.е. сумма уменьшилась примерно на 17 процентов.

Чтобы успешно решать задачи на проценты, надо:

понимать, от какой величины берется указанное количество процентов;

при изменении величины на определенное число процентов вычислять новое значение величины по формулам (1) и (2);

при изменении значения величины определять по формуле (3), на сколько процентов произошло изменение.

Примеры
. Вчера курс доллара к рублю поднялся на , а сегодня упал на . Как в итоге изменился курс доллара?

Пусть исходно доллар стоил рублей. После вчерашнего повышения он стал стоить, по формуле (1), руб. После сегодняшнего понижения стал стоить . По формуле (3): , т.е. в итоге курс упал на одну сотую процента.

. Имеется 100 кг грибов влажностью . После сушки влажность упала до . Каким стал вес грибов?

Влажность означает, что в грибах по весу содержится 99 сотых частей воды и одна сотая часть сухого вещества. При весе 100 кг это 99 кг воды и 1 кг сухого вещества. После сушки вес сухого вещества не изменился, остался равен 1 кг. Влажность стала , т.е. стало 98 сотых частей воды и 2 сотых части сухого вещества. 2 сотых части - это одна пятидесятая, значит, 1 кг сухого вещества стал одной пятидесятой частью веса грибов. Т.е. грибы стали весить 50 кг.

Замечание. Если поставить вопрос “Как изменился вес грибов?”, то задачу можно решить, не задавая начального веся грибов. Действительно, сухая часть, которая до сушки составляла одну сотую всего веса, после сушки составляет одну пятидесятую всего веса. Значит, вес уменьшился в два раза.

Упражнения.

. а) После дождя вес стога сена увеличился на , а затем после солнечного дня уменьшился на . Как в итоге изменился вес стога сена?

б) После солнечного дня вес стога сена уменьшился на , а затем после дождя увеличился на . Как в итоге изменился вес стога сена?

. Как изменился вес грибов, если до сушки влажность была , а после сушки стала

а) ;

б) ?

Один из распространенных типов задач на проценты - задачи на смешивание растворов разной концентрации. При решении таких задач надо свободно владеть языком процентов, правда, основная трудность смещается на составление и решение уравнения или системы уравнений.

Пример (задача вступительного экзамена в Краснодарский политехнический институт. Хотя это и старая задача, совершенно аналогичные задачи попадались в последние годы в ЕГЭ, часть В). Из колбы, наполненной 40-й серной кислотой, взяли 320 г кислоты и добавили в колбу 258 г воды. В результате концентрация кислоты в колбе снизилась до . Определить, сколько граммов 40-й кислоты было первоначально в колбе.

Пусть первоначально было граммов 40-й кислоты. Это значит, что в колбе было концентрированной кислоты и воды. Когда взяли 320 г кислоты (по смыслу задачи - той 40-й, которая была в колбе), из колбы ушло г концентрированной кислоты. В колбе стало г концентрированной кислоты, а вес раствора стал равен г. Когда в колбу добавили 258 г воды, вес концентрированной кислоты не изменился, остался г, а вес всего раствора стал равен г. Концентрация кислоты теперь равна 25, т.е. вес концентрированной кислоты равен -й части веса всего раствора. Отсюда получаем уравнение: . Решив это уравнение, находим: .
Ответ: первоначально было 750 граммов 40-й кислоты.