0

Предел последовательности

Границы множества

Определение. Множество называется ограниченным сверху, если : (найдётся такое вещественное число , что для всех элементов выполняется неравенство: ). При этом число называют верхней границей множества .

tEnCN1IbWDw52p7SxJAOcQ==

Заметим, что верхняя граница определена неоднозначно. Например, отрезок явно ограничен сверху числом 1, но в качестве верхней границы можно выбрать и 10, и 100, и даже . С другой стороны, множество натуральных чисел неограничено сверху.

Упражнения.

  1. Попробуйте подобрать по несколько верхних границ для следующих множеств:
цифра
  1. Приведите ещё примеры множеств, неограниченных сверху.

  2. Сформулируйте определение множества, ограниченного снизу, и нижней границы.

Вновь посмотрим на отрезок . Всем ясно, что его точная верхняя граница — это 1. Но, как мы видели, с формальной точки зрения любое число, большее или равное 1, называется верхней границей. Однако очень хочется связать с ограниченным сверху множеством одну конкретную верхнюю границу этого множества. В случае нашего отрезка 1 — это его максимальный элемент. Ровно поэтому его можно взять в качестве точной верхней границы.

Но как быть тогда с интервалом ? Ясно, что здесь точной верхней границей тоже будет 1, но она уже не принадлежит множеству (в интервал границы не входят). С другой стороны, и в этом случае 1 — верхняя граница множества согласно определения, ведь любой элемент интервала меньше этого числа. Более того, легко заметить, что 1 — наименьшая из верхних границ интервала. Так может быть имеет смысл определить точную верхнюю грань ограниченного сверху множества как наименьшую верхнюю границу. Но возникает законный вопрос: а всегда ли существует минимальная среди верхних границ, ведь множества без минимального элемента существуют! Например, в том же интервале нет минимума!

Здесь нам поможет аксиома вещественных чисел.

Принцип непрерывности. Даны два подмножества вещественных чисел: , причём для любой пары элементов выполнено неравенство: . Тогда найдётся такое число , что для всех . Формульная формулировка:

J4YpY0OnH53dBzDrsDVGMw==

Замечание. В множестве рациональных чисел этот принцип не выполнен. Например, если то число между ними .

Докажем теперь важное утверждение

Теорема о существовании точной границы Если множество ограничено сверху, то среди его верхних границ найдётся минимальная, которую мы будем называть точной верхней гранью множества и обозначать как .

Доказательство. Обозначим через множество всех верхних границ множества . Тогда, по определению верхней границы, для любых выполнено неравенство . По принципу непрерывности найдётся такое число , при котором для любой пары . Так как для всех , то — верхняя граница множества , а поскольку *при всех} , то — минимальная верхняя граница! Ч.Т.Д.

Теперь мы готовы сформулировать определение.

Определение. Точной верхней гранью множества называется минимальная из его верхних границ.

Докажем ещё одно полезное свойство верхних границ.

Определяющее свойство верхних границ. Число будет точной верхней гранью множества тогда и только тогда, когда выполняются следующие свойства:

1) для любого ;

2) для любого, сколь угодно маленького числа найдётся такой элемент , что .

ks0BeIVmA4Mg+bdmYatrXg==

Доказательство. Предположим, что условия выполнены. Из первого следует, что — верхняя граница множества . Предположим теперь, что найдётся число , которое тоже будет верхней границей. Положим . Тогда и по второму условию найдётся , который будет больше , т.е. не является верхней границей множества . Значит, — действительно минимальная граница и .

Пусть теперь . Покажем, что оно удовлетворяет двум условиям. Первое из них выполнено по определению верхней границы, а поскольку — минимальная верхняя граница, то никакое число, меньше , например, не может быть верхней границей, о чём и говорит второе свойство.

Упражнения.

  1. Сформулируйте определение точной нижней границы ограниченного снизу множества .

  2. Почему существует у ограниченного снизу множества ?

  3. Сформулируйте и докажите определяющее свойство точных нижних границ.

  4. Убедитесь, что у приведённых ниже множеств правильно определены точные верхние границы:

1)

2) цифра

3)

Пересечение промежутков

В этом разделе мы сформулируем и докажем некоторые полезные утверждения, которые нам понадобятся позже.

Лемма о вложенных отрезках. Для любой системы вложенных отрезков

существует точка , принадлежащая всем отрезкам сразу.

Доказательство. Обозначим через множество левых концов всех отрезков, а через — множество правых концов. Тогда любой элемент будет строго меньше произвольного элемента . По принципу непрерывности найдётся такая точка , что для всех и . В частности, для любого имеем , т.е. .

Замечание. Если отрезки заменить на интервалы, то утверждение станет ложным, например

Лемма о конечном пересечении интервалов. Пусть — конечный набор окрестностей точки . Тогда найдётся такое , что

Доказательство. Обозначим через левые концы интервалов, а через — правые. Поскольку , то . Пусть . Тогда . Положив , мы получим, что

см. рис.

YayYaKqv3j6VfDNRvn3ZRg==

Предел последовательности

Цель этого раздела — выработать определение предела последовательности. Дело в том, что практика преподавания показывает, что это понятие усваивается с большим трудом. Однако, если принимать активное участие в “придумывании” определения, то оно усваивается гораздо лучше! Начнём с понятия “последовательность”.

Определение. Бесконечной числовой последовательностью называется функция (из множества натуральных чисел в множество вещественных). Часто вместо пишут . Поэтому последовательность — это просто бесконечный набор чисел:

Примеры.

Обратите внимание на то, что последовательность — это функция, а не множество. В частности, последовательность имеет бесконечное число членов, хотя множество её значений состоит только из 1.

На вопрос “что такое предел последовательности?” можно услышать примерно такие ответы:

  • это точка, к которой стремится последовательность, но никогда её не достигает;
  • это точка, куда члены последовательности подходят всё ближе и ближе.

К сожалению первое “определение” включает в себя слово “стремится”, которое само нуждается в уточнении. Кроме того, заявление “никогда её не достигает” вызывает сомнение. Действительно, интуитивно ясно, что предел постоянной последовательности, например, , существует (в этом случае он равен 2), но утверждать, что “последовательность не достигает предела”, нельзя.

С другой стороны, можно сообразить, что у трёх первых из приведённых выше последовательностей предел существует:

а вот последняя последовательность, поочерёдно принимая значения , предела не имеет.

Первые три последовательности объединяет свойство неубывания. Сформулируем соответствующее определение.

Определение. Последовательность называется неубывающей, если .

Попробуем предложить определение предела для неубывающих последовательностей

Проект определения. Если — неубывающая ограниченная сверху последовательность, то её предел — это её точная верхняя граница.

Во всяком случае, в предыдущих трёх примерах это было именно так!

Теперь осмыслим этот проект определения. Пусть — неубывающая ограниченная сверху последовательность и — её точная верхняя граница. Тогда по определяющему свойству верхних границ для любого найдётся элемент последовательности, скажем , который окажется больше, чем (см. рис.)

nZoW25MSMvfh9pNXEYoi8Q==

Заметим теперь, что поскольку последовательность неубывающая, то все её члены, номер которых больше , лежат правее элемента (и все они не больше , так как . Иными словами, если , то .

Кроме того, обратите внимание на то, что левее точки могут лежать только те элементы последовательности, номер которых меньше , а таковых лишь конечное, хотя, может, и очень большое число, а между точками и расположены элементы последовательности, номер которых больше , а их — бесконечное количество, можно сказать, что почти вся последовательность лежит между и !

Теперь заметьте, что можно брать любое, например такое, что точки и визуально будут неразличимы, и всё равно, почти вся последовательность будет лежать между ними, т.е. с такой последовательностью неразрывна связана точка, которую естественно называть пределом последовательности. Итак, мы пришли к такому определению.

Определение. Точка называется пределом последовательности (уже не обязательно неубывающей), если в любой её окрестности (окружающем её интервале) находится бесконечно много элементов последовательности, а вне её — конечное.

Фактически можно взять такую окрестность, что ее изображение на рисунке сольется с точкой

EUlW6Z/Q/yrbFBl18bcJbg==

Но все равно, в такой окрестности содержится почти вся последовательность, за исключением конечного числа элементов.

Это определение вполне рабочее. С его помощью можно доказывать некоторые утверждения. Докажем, например, единственность предела.

Теорема о единственности предела. Если последовательность имеет предел, то он только один.

Доказательство. Предположим, что у последовательности есть два предела: и . Тогда в любых окрестностях этих точек находятся бесконечное число членов последовательности, а вне их — конечное. Но можно взять непересекающиеся окрестности: — окрестность точки , и — окрестность точки . По определению предела в окрестности содержится бесконечно много элементов последовательности, а вне её — конечное. Поэтому в не может попасть бесконечно много элементов, что необходимо для того, чтобы было пределом последовательности. Полученное противоречие показывает, что двух пределов быть не может!

tcH4HY8TrSjcKkMqw1uEUw==

На самом деле, для более сложных утверждений нам потребуется более формальное определение. Давайте его вырабатывать. Прежде всего формализуем понятие “окрестность”.

Определение. Окрестностью точки принято называть любой интервал, который её содержит. Её часто обозначают как . Если — положительное число, то -окрестностью точки называют интервал .

Рассмотрим последовательность , c пределом в точке . Тогда, согласно определению в любой окрестности точки , в частности, в любой её -окрестности содержится бесконечное число членов последовательности, а вне окрестности — конечное. Пусть — это максимальный номер элемента последовательности, лежащего вне -окрестности. В этом случае все члены с номерами попадут в -окрестность точки . Иными словами, найдётся такой номер , что для всех попадает в -окрестность точки (см. рис.), что можно записать как . Итак, мы пришли к формальному определению.

5Al87AueW7XoPbIwNlardg==

Определение. Точка называется пределом последовательности , если для любого найдётся такой номер , что все элементы последовательности с номерами удовлетворяют неравенству . На формульном языке это выглядит так:

Докажем теперь формально, что неубывающая ограниченная сверху последовательность имеет пределом точную верхнюю грань своих значений.

Теорема. Пусть — неубывающая последовательность и — точная верхняя граница её значений. Тогда .

Доказательство. По определению точной верхней границы любой член последовательности . Возьмём произвольное . По определяющему свойству верхних границ найдётся такой номер , что . Так как последовательность не убывает, то для всех номеров выполнено неравенство: , т.е. , что по определению предела даёт .

** Пример.** Найти предел последовательности .

Решение. Если внимательно посмотреть на члены последовательности, то можно заметить, что её члены становятся всё меньше и меньше. Поэтому резонно предположить, что предел этой последовательности равен нулю. Чтобы это доказать, нам нужно для любого подобрать такой номер , что для всех будет выполняться неравенство

Поскольку под модулем стоит число положительное, то неравенство равносильно следующему: Так как функция возрастает, решением последнего неравенства, а значит, и исходного будет служить промежуток . Поэтому взяв натуральное число , больше, чем , мы получим требуемое.