6

Лекции по аналитической геометрии




Введение

Математику условно можно разделить на две области — геометрию и алгебру. Геометрия изучает окружающий нас мир, а алгебра предоставляет язык для этого изучения. Обратите внимание, что математика отнюдь не сводится к формулам! Формулы — лишь инструмент математики, относящийся к алгебре.

Аналитическая геометрия — это исторически первая математическая теория, в которой числа, функции и формулы прилагаются к изучению евклидовой геометрии (самой простой и естественной модели пространства-времени). Эта геометрия получила свое название благодаря древнегреческому математику Евклиду (ок. 300 г. до н.э.), систематизировавшему геометрические знания античных математиков в своем труде «Начала».

Кроме евклидовой геометрии, которую изучают в школе и которой посвящено настоящее пособие, существует еще множество других геометрий, построенных на аксиомах, отличных от евклидовых, причем современные физики, начиная с Эйнштейна, склонны считать, что окружающий нас мир описывается евклидовой геометрией лишь в первом приближении, а реальная геометрия вселенной и микромира существенно сложнее.

Наш курс состоит из нескольких частей: векторная алгебра (векторы и операции над ними), которая представляет собой основной аппарат курса аналитической геометрии; «линейная» геометрия, в которой мы будем изучать такие объекты, как прямые и плоскости; «квадратичная» геометрия, где рассмотрены кривые и поверхности второго порядка; и элементы линейной алгебры, а именно системы линейных уравнений, матрицы и определители.

Относительно изучения математики вообще и аналитической геометрии в частности советуем ограничиться минимумом зубрежки. Рекомендуем во время обучения стараться как можно чаще ставить себе вопрос «почему?» и отвечать на него.

Большинство первокурсников считает, что для успешной сдачи экзаменов достаточно научиться решать задачи. Это ошибочное мнение, поскольку при таком подходе приходится запоминать огромное количество формул, правил и утверждений. С таким количеством информации справиться довольно сложно. Если же внимательно разбирать теорию (постоянно отвечая на вопрос «почему?»), то все необходимые формулы и приемы сами собой улягутся в голове и запоминать придется лишь несколько базовых определений.

В заключение несколько слов о пользе обозначений и символьной записи. Имеющийся у нас опыт преподавания говорит о том, что вместо использования компактных символьных записей первокурсники предпочитают словесные формулировки тех или иных утверждений. Конечно, на вкус и цвет товарищей нет, но хотелось бы обратить внимание на несомненные преимущества формул в передаче информации. В математике существуют определенные обозначения и кванторы, которые позволяют компактно и емко записывать громоздкие формулировки, относящиеся не только к арифметике. По мере необходимости мы будем вас с ними знакомить.

Итак, успехов в освоении аналитической геометрии!