1

Задачи с параметрами



  • Простейшие уравнения и неравенства с параметром

    • Статья

Простейшие уравнения и неравенства с параметром

Задача 1. Тригонометрическое уравнение с параметром

При каком наименьшем положительном значении функция

имеет максимум в точке ?

Решение: Максимумы функции достигаются в точках . Значит, чтобы у данной функции в точке достигался максимум, надо чтобы значение её аргумента в точке было равно для некоторого целого . То есть:

Разделим все уравнение на и домножим на :

При достигается наименьшее положительное значение .

Ответ: 150

Задача 2. Неравенство с параметром

При всех значениях параметра решите неравенство

.

Решение: При любом фиксированном значении это обычное рациональное неравенство. Это неравенство равносильно неравенству

Его мы можем решить методом интервалов. Для этого на числовой оси надо расположить точки b . Очевидно, что при любом значении число больше, чем . Эти точки будут являться нулями параболы , ветви которой направленный вверх.

qrkD/n8dUkeLtVcHaq6f/g==

Поучаем, что значения функции будут неотрицательны в промежутках и .

Ответ: при любом .

Задача 3. Неравенство с параметром

Найдите все значения параметра , при которых множество решений неравенства

содержит точку .

Решение: Если является решением неравенства, то можем подставить в неравенство вместо единицу. Получится неравенство на , которое надо решить.

Решим это неравенство методом интервалов. Для этого отметим на числовой прямой нули числителя и знаменателя и расставим знаки на каждом из получившихся интервалов: 5aIfB54G6zgXLMbfGLUHqw==

Получаем, что это неравенство имеет множество решений .

Ответ:

Задача 4. Логарифмическое неравенство с параметром

Найдите все значения параметра , при которых неравенство выполняется для всех значений .

Решение: — основание логарифма, поэтому . Заметим, что аргумент логарифма . Дальнейшее решение распадается на два случая:

1)

— нет решений, так как , а

2)


Нужно найти такие значения , при которых последнее неравенство всегда верно. Так как , нужно чтобы было строго меньше .

С учетом того, что во втором случае мы рассматривали , получаем .

Ответ:

Задача 5. Уравнение с параметром

При каких значениях параметра уравнение

имеет бесконечно много корней?

Решение: Относительно это линейное уравнение вида , где

Линейное уравнение имеет бесконечно много корней, когда оба его коэффициента и равны . Значит, нам надо найти такие , что

Второе уравнение мы решать не будем, мы подставим в него корни первого уравнения и отберем среди них подходящие.

Подставим эти корни во второе уравнение.

:

:

То есть, решением второго уравнения является только корень .

Ответ:.

Задача 6. Система уравнений с параметрами

Известно, что — одно из решений системы

Найдите все решения данной системы.

Решение: Так как известно, что — решение данной системы, то можем подставить эти значения вместо и в систему и получить систему с двумя переменными и :

Так как , то правая часть первого уравнения системы равна

Итак, имеем систему

Откуда , . Теперь, когда мы знаем значения параметров и , подставим их в исходную систему и решим её:

Как мы видим, одно из полученных решений уже дано в условии.

Ответ:,