Web-Fonts not available -- using image fonts instead
1

Часть 1. Задачи 1-9

1) Бегун пробежал 250 м за 36 секунд. Найдите среднюю скорость бегуна на дистанции. Ответ дайте в километрах в час.

Решение:
Скорость бегуна надо выразить в километрах в час. Поэтому сначала переведем дистанцию, которою он пробежал из метров в километры, а время из секунд в часы.
В 1 километре 1000 метров. Дистанция была 250 метров. Это километра.
В одном часе 60 минут, в одной минуте 60 секунд, поэтому в одном часе секунд. Бегун потратил 36 секунд. Это часа.
Теперь найдем скорость бегуна в км/ч. Для этого надо разделить расстояние, которое он пробежал на время, которое ему на это потребовалось:

То есть, средняя скорость бегуна на всей дистанции составляла 25 км/ч.

Ответ: 25

2) На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Томске с 8 по 24 января 2005 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа в Томске впервые выпало ровно 1,5 миллиметра осадков. hrkxm5BldsvVw0faLwNaOw==

Решение:
Ищем на рисунке жирные точки, ордината которых равна . Таких точек три, они обведены красным: mGKqa6cDwhMNT3+lXxj3PQ== Самая левая из них имеет абсциссу 9, то есть впервые ровно миллиметра остадков выпало 9 числа.

Ответ: 9

3) Телефонная компания предоставляет на выбор три тарифных плана.

Тарифный планАбонентская плата (в месяц)Плата за 1 минуту разговора
«Повременный»Нет0,3 руб.
«Комбинированный»160 руб. за 420 мин.0,2 руб. (сверх 420 мин. в месяц)
«Безлимитный»255 руб.Нет

Абонент предполагает, что общая длительность разговоров составит 700 минут в месяц, и исходя из этого выбирает наиболее дешёвый тарифный план. Сколько рублей должен будет заплатить абонент за месяц, если общая длительность разговоров действительно будет равна 700 минутам?

Найдем, сколько ему придется заплатить за 700 минут разговоров при каждом тарифном плане и выберем наименьший результат.
1) рублей
2) рублей
3) рублей

Меньше всего (210 рублей) ему надо будет платить, если он выберет первый тарифный план.

Ответ: 210

4) На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён угол. Найдите синус этого угла. 7ZpXyAh4hz59Gr/fTY+B7Q==

Решение:
Опустим перпендикуляр на нижнюю сторону этого угла так, чтобы его длина составляла целое количество клеток: 2rKQo7W0d9N76WAW3yHOyw== Получился прямоугольный треугольник, катеты которого равны 3 и 4 клетки. Синус остного угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего этому углу катета к гипотенузе. Длина противолежащего углу катета равна 3. Гипотенузу найдем по теореме Пифагора: . Тогда искомый синус угла будет равен

Ответ:

5) Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,32. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решение:
Победа в первой и победа во второй партии — независимые события. То есть, наступление одного никак не влияет на наступление другого. Поэтому, чтобы найти вероятность, что шахматист выиграет и первую и вторую партию надо перемножить вероятности этих событий. Каким цветом будет играть А. в первой партии не известно, но во второй он будет играть другим цветом, так как они меняются. Поэтому в любом случае мы перемножаем числа и . Порядок, в котором они будут браться множителями (то есть, будет играть А. сначала белыми, а потом черными или наоборот) не повлияет на результат.

Ответ:

6) Найдите корень уравнения .

Решение:
Для решения этого показательного уравнения приведем обе его части к виду степени с одинаковым основанием и приравняем показатели. Здесь удобно приводить к виду степеней с показателем 6, так как , . Получим:

Ответ:

7) Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 32, её большая боковая сторона равна 9. Найдите радиус окружности.

Решение:
Диаметр вписанной в трапецию окружности равен высоте трапеции. Так как эта трапеция прямоугольная, то её меньшая боковая сторона (которая перпендикулярна основаниям) равна высоте трапеции. Обозначим её . основания обозначим и . FWnND8rqAUcJMdh4jqjqOw==

Периметр - это сумма длин всех сторон.

Кроме того, воспользуемся теоремой: если в четырехугольник вписана окружность, то суммы длин противоположный сторон этого четырехугольника равны. Откуда:

Теперь подставим в первое равенство вместо :

Таким образом мы нашли длину меньшей стороны этой трапеции. Она же равна высоте этой трапеции и диаметру вписанной в нее окружности. Поэтому, чтобы найти радиус вписанной окружности, разделим диаметр на 2:

Ответ:

8) На рисунке изображён график функции . На оси абсцисс отмечены восемь точек: . В скольких из этих точек производная функции отрицательна?6w5oJ+u85LdKTKKkr3nO7A==

Решение:
В окрестностях тех точек, где производная положительна функция растет, а где производная отрицательна - убывает. Поэтому нам надо найти среди этих восьми точек те, в окрестностях которых функция убывает. Как видно по рисунку, это точки . Их 4 штуки.

Ответ: 4

9) В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 2, боковое ребро равно 5. Найдите её объём. UYlXkLdhSqbyP7wNM5xiJg==

Решение:
Объем пирамиды вычисляется по формуле , где — площадь основания пирамиды, а — высота пирамиды. Поэтому, сначала надо найти площадь основания ётой пирамиды.
Соединим отрезком основание высоты и один из углов основания этой пирамиды. OHP+CUb+Fsr6IF4UTITRmw== Получим прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 5 (это боковое ребро пирамиды), а один из катетов равен 2 (это высота пирамиды). По теореме Пифагора найдем второй катет. Он равен . И этот катет равен половине диагонали основания пирамиды, так как она правильная. Основанием этой пирамиды является квадрат. Значит, диагональ этого квадрата равна .
Диагональ квадрата в раз больше его стороны. Значит, сторона этого квадрата равна

Площадь квадрата равна квадрату его стороны. Значит, площадь основания этой пирамиды равна .

Теперь можем подставить найденное значение площади основания пирамиды и данное значение её высоты в формулу объема:

Ответ: 28