1

Линейная функция

Функции и их свойства

Прежде чем говорить о конкретных функциях, дадим определение числовой функции. Числовая функция , определённая на подмножестве вещественных чисел, — это правило, по которому каждому числу сопоставляется одно и только одно число . При этом множество называют областью определения функции . Иногда функцию можно задать формулой, например, функция сопоставляет каждому вещественному числу тоже самое число. С другой стороны, есть функции, которые трудно записать единой формулой. Например, функцию Дирихле , определённую на отрезке , которая сопоставляет каждому рациональному числу 1, а иррациональному — 0, можно задать системой:

еслиесли

У каждой числовой функции есть график, который обычно изображают в прямоугольной системе координат. Формально, график — это множество точек с координатами , где пробегает все точки области определения функции.

Когда мы займёмся конкретными функциями, мы познакомимся с графиками более подробно.

Ещё полезно определить возрастающие и убывающие функции. Говорят, что функция возрастает на множестве , если для любой пары точек выполняется неравенство . Если же для любой пары точек выполняется противоположное неравенств: , то говорят, что функция убывает на множестве .

usTqeNb84L9+rihx/e7M+Q==

Например, функция, изображённая на это рисунке, возрастает на промежутках и и убывает на промежутке .

Линейная функция

Линейной функцией называется функция вида , где и — числа.

Своим названием функция обязана графику. Её график — это прямая линия. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим сначала график функции .

FIUmz+TBofRE8oNWsjgbzQ==

Выберем произвольную точку на этом графике и заметим, что её абсцисса (координата в нашем случае) равна ординате (координате в нашем случае). Если при этом , то — это расстояние от точки на графике до координатных осей. Поскольку они равны, то точка лежит на биссектрисе первого квадранта. Аналогично, если , то расстояние от точки графика до координатных осей — это модуль координат, и опять мы получаем равенство этих расстояний, т.е. график нашей функции — это биссектриса первого и третьего квадрантов координатной плоскости, т.е. прямая!

Прямая пропорциональность

Рассмотрим теперь функцию , где — число. Такую функцию называют прямой пропорциональностью. Название связано с тем, что для любых ненулевых значений и имеет место пропорция:

Ясно, что и . Значит, график этой функции проходит через точки и . Проведём через эту пару точек прямую и покажем, что она служит графиком нашей функции.

Возьмём произвольную точку (будем пока считать, что и ) на координатной оси и проведём через неё вертикальную прямую до пересечения с прямой . Точку пересечения обозначим через . Длину отрезка обозначим символом . Тогда координаты точки имеют вид . Обратите внимание, что прямоугольные треугольники и подобны (координаты точки равны ).

C53Z8x+/cFBHfBF/TkyA1Q==

Из подобия треугольников

Подставляя значения длин, получаем

откуда , т.е. прямая — действительно график прямой пропорциональности . (Случай разбирается аналогично.) При этом коэффициент называют *угловым коэффициентом} прямой.

График прямой пропорциональности с показан на следующем рисунке.

Mrx0AZWELWHOME9BLvGG9w==

Видно, что при функция возрастает на всей числовой оси, а при убывает. В обоих случаях функция определена при всех значениях .

Общий случай

Предположим, нам известен график функции . Сможем ли мы изобразить график функции , где называют свободным членом? А в чём, собственно проблема? Если нам известны координаты точки графика первой функции, то координаты точки графика второй функции очевидны: абсцисса осталась неизменной, а к ординате добавилась число (т.е. точка находится выше точки на , если или ниже на , если ). Причём это можно сказать про все точки графика. Значит, графики функций и сдвинуты относительно друг друга по вертикали на . На следующем рисунке показан график функции и различные его сдвиги.

j92pfIolddjNTtaa6y581w==

В связи с этим наблюдением можно утверждать, что график функции представляет собой прямую, сдвинутую относительно графика прямой пропорциональности на по вертикали.

Пример. Изобразите графики функций , и .

Решение. Мы знаем, что график линейной функции — прямая. Чтобы её изобразить, нужно найти пару точек, через которые она проходит. В первом случае это точки: и , во втором — и , в третьем — и .

b2CoKuNNJFypht7IWxsUyw==

Легко понять, что от знака свободного члена зависит где (ниже или выше оси абсцисс) график функции пересекает ось ординат: если , то выше, если , то ниже, если , то прямая проходит через начало координат.

Пример. На рисунке изображены четыре прямые, описываемые уравнением . Определите в каждом случае знаки углового коэффициента и свободного члена.

EBe8BthZN+1c+2mOSi/imw==

Решение. Прямая 1 идёт слева направо, сверху вниз, т.е. убывает, следовательно, её угловой коэффициент отрицателен. Эта прямая пересекает вертикальную ось выше горизонтальной, значит, свободный член больше нуля.

Вторая прямая тоже убывает, а вертикальную ось пересекает ниже точки . Поэтому угловой коэффициент и свободный член меньше нуля.

Остальные прямые — графики возрастающих функций, поэтому угловые коэффициенты соответствующих функций положительны. При этом 3-я прямая пересекает ось выше нуля и её свободный член положителен, а 4-я проходит через начало координат. Значит, её свободный член равен 0.

Сведём ответы в виде таблицы.

Упражнения.

  1. Начертите графики функций: , , .

  2. На рисунке построены графики функций: , , . Сопоставьте прямые и соответствующие функции.

xS1pIGLc2T3SobPRvi56bQ==

Ответы. Ответ к первому представлен на рисунке

93mTN/CR6YGlxABXEdewmA==

Соответствие во второй задаче оформлено в виде таблицы.

прямыефункции

Линейное уравнение с двумя переменными и его график

Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида , где — числа, которые называются коэффициентами уравнения, а и — переменные, причём либо , либо (как правило оба коэффициента не равны нулю). Решением такого уравнения называется любая пара чисел и , которые после подстановки в уравнение обращают его в верное тождество, например, пара чисел — решение линейного уравнения . Обратите внимание, что далеко не единственная пара чисел служит решением такого уравнения. Множество всех его решений, изображённое на координатной плоскости, называется графиком уравнения. Оказывается, график линейного уравнения — это всегда прямая. Именно поэтому такое уравнение называется линейным. Рассмотрим уравнение . Если , то оно переписывается как

По определению в этом случае и можно переписать уравнение как

т.е. любая пара чисел — решение нашего уравнения. На координатной плоскости это множество представляет собой вертикальную прямую, проходящую через точку с координатами (см. рис.)

ycLQJY7DYJBttztMSIIrRw==

Рассмотрим теперь уравнение

Здесь и уравнение имеет решение

любое

В этом случае график уравнения представляет собой горизонтальную прямую . Она представлена на рис. ниже.

QtMnaSvFwM1+pOpkXx2yIw==

Предположим теперь, что оба коэффициента отличны от нуля и преобразуем уравнение к виду

что можно переписать как , где . Иными словами, мы получили линейную функцию, чей график, как мы уже знаем, — это прямая. Значит, мы доказали, что графиком любого линейного уравнения служит прямая.

Рассмотрим теперь две прямые: и . Как известно, две прямые на плоскости могут совпадать, пересекаться по одной точке или быть параллельными. Попытаемся выяснить, как по уравнениям понять, какой именно из трёх случаев будет иметь место.

Прежде всего предположим, что и отличны от нуля. Тогда уравнения можно переписать как линейные функции:

Мы помним, что наклон прямой зависит от углового коэффициента. Поэтому, если , то прямые параллельны. Если при этом и , то они совпадают. И, если , то прямые пересекаются.

Система линейных уравнений

Рассмотрим два линейных уравнения, представляющих пересекающиеся прямые в точке , как показано на рисунке:

kiGZTAv8xrDWyaT/iFBPig==

Пусть первая прямая описывается уравнением , а вторая — .

Ясно, что точка принадлежит обеим прямым. Следовательно, пара чисел удовлетворяет обоим уравнениям. При этом говорят, что эта пара является решением системы линейных уравнений

К сожалению даже самый точный чертёж не может дать абсолютно точного решения. Он может лишь качественно сказать, что решение есть и подсказать, чему оно может быть равно. Существуют другие способы решения систем двух линейных уравнений. Первый заключается в том, чтобы из одного уравнения выразить одну из переменных, а затем это выражение подставить во второе, что даст нам уравнение с одной переменной, которое уже решить несложно.

Пример. Решите систему уравнений:

Решение. Здесь из второго уравнения можно выразить , перенеся все остальные слагаемые в правую часть с противоположным знаком: Подставим теперь такое в первое уравнение: что после приведения подобных членов даёт Решая это уравнение обычным способом, получаем, что . Вспомним теперь, что и подставим туда найденное значение переменной :

Значит, пара является решением нашей системы.

Второй способ заключается в том, чтобы путём равносильных преобразований системы исключить одну из переменных. Равносильными преобразованиями системы называются такие преобразования, которые не меняют множества решений. В частности, если мы одно из уравнений умножим на число, не равное нулю, множество его решений, а значит и множество решений системы, не поменяется. Если мы к одному уравнению прибавим другое, умноженное на число, то можно доказать, что это преобразование также не изменит множество решений системы.

Посмотрим на примере, как это работает. Сначала решим предыдущую систему таким способом.

Пример. Решите систему уравнений:

Решение. Вычтем из первого уравнения второе (т.е. прибавим к первому уравнению второе, умноженное на ) и получим равносильную систему:

Теперь найденное значение подставим во второе уравнение:

откуда

и мы опять получили решение.

Пример. Решить систему уравнений

Решение. Умножим первое уравнение на 2 и прибавим его ко второму:

Теперь найденное значение подставляем в первое уравнение и найдём, что . Значит, пара — единственное решение системы.

Пример. Решить систему уравнений

Решение. Здесь, к сожалению, перед сложением или вычитанием нужно каждое уравнение на что-нибудь умножить, чтобы получить у одной из переменных одинаковые коэффициенты. Поэтому первое уравнение умножим на 3, а второе — на 2. Получим равносильную систему:

Теперь вычтем из второго уравнения первое.

Теперь из первого уравнения находим, что , т.е. — решение.

Кстати, по коэффициентам системы линейных уравнений мы можем не решая её заранее сказать, будет ли она иметь решение и если будет, то сколько. Для этого вспомним, что множество решений каждого уравнения системы — это прямая на плоскости. А пара прямых либо совпадает (и тогда система имеет бесконечно много решений), либо параллельна (решений нет), либо пересекается в одной точке (единственное решение). Осталось вспомнить, как по коэффициентам определить, какой именно из этих трёх случаев относится к вашей системе.

Пример. Выясним, сколько решений имеет каждая из следующих систем уравнений:

ххх

Решение. В первой системе отношение коэффициентов равно у первого уравнения и у второго. Поскольку они разные, прямые пересекаются в единственной точке, т.е. решение одно.

Во второй системе отношение коэффициентов равно у первого уравнения и у второго. Так как они равны, то прямые либо параллельны, либо совпадают. Чтобы различить эти случаи, посмотрим на отношение . Оно равно в первом уравнении и во втором. Так как отношения разные, прямые параллельны и система не имеет решений.

Наконец, в третьей системе все отношения равны: и . Это говорит о том, что прямые совпадают и система имеет бесконечно много решений.

Упражнения. Решите каждую из приведённых ниже систем:

Ответы.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;