0

Алгебраическая запись комплексных чисел

Определения.Комплексным числом называется число вида , где — вещественные числа, а мнимая единица, т.е. число, удовлетворяющее соотношению . При этом называетсявещественной, а мнимой частями числа .

Комплексные числа и называются равными, если равны их действительные и мнимые части: .

Суммой двух комплексных чисел и называется число .

Произведением двух комплексных чисел и называется число , которое получается в результате стандартного раскрытия скобок с учётом равенства .

Множество всех комплексных чисел обозначается символом .

Пример. Раскрыть скобки .

Решение. Нетрудно убедиться, что формулы сокращённого умножения работают и в комплексном случае. Мы будем ими пользоваться.

Упражнения. Вычислите

1) ,

2) ,

3) ,

4) .

5) .

Оказывается, что комплексные числа ведут себя, практически, как вещественные, в том смысле, что результат суммы (как и произведения) не зависит от порядка слагаемых (сомножителей), при умножении скобок они раскрываются стандартным образом. Комплексные числа можно даже делить друг на друга, если, конечно, делитель не равен нулю, при этом частное тоже будет комплексным числом. Действительно, найдём комплексное число, равное отношению . Для этого «умножим и разделим дробь на сопряжённое число»:

Заметим, что если , то либо , либо . Во всяком случае, Поэтому частное двух комплексных чисел тоже будет комплексным числом:

Пример. Найдите частное .

Решение.

Упражнения. Вычислите

6) ,

7) ,

8) ,

9) .

10) .

Ответы.

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) ,

9) ,

10) .

Комплексное сопряжение

При обсуждении деления мы умножали и делили на «сопряжённое». На самом деле это не просто оборот речи. На множестве комплексных чисел действительно существует операция комплексного сопряжения и её роль в теории комплексных чисел очень важна.

Определение. Пусть — комплексное число. Комплексно сопряжённым называется число .

Теорема. Комплексное сопряжение является автоморфизмом полявторого порядка в том смысле, что

  1. ,
  2. ,
  3. .

Доказательство состоит в честном вычислении по сформулированным правилам действий с комплексными числами. Проведите его самостоятельно.