0

Степени. Свойства степеней

Напомним, что степенью числа с натуральным показателем называется выражение , где — любое число (мы будем считать его вещественным). По определению

раз

В связи с этим легко доказать (и главное понять!) следующую формулу:

Действительно,

разразраз

Фактически, — это единица, умноженная на раз. Поэтому ничего странного нет в том, что .

А что же такое ? Если распространить доказанную формулу и на отрицательные числа, то

Иными словами, — это число, обратное числу по умножению, т.е. .

Поэтому

как только , .

Обобщим формулу произведения степеней на степень степени.

разразразразраз

Поэтому интерпретируется как число, которое при возведении в степень даст . Иными словами, если — натуральное число, то

Осталось заметить, что если показатель , то

а если , то

Примеры:

















Показательная функция

Более того, если число , то функция определена при всех вещественных значениях , причём при рациональных значениях аргумента значения этой функции вычисляются, как мы только что объяснили. Такая функция называется показательной.

Мы не ставили себе цель определить эту функцию абсолютно точно, нам просто хотелось показать естественность формул, которые многим приходится зазубривать!

Очевидно, если , то при любом значении , поэтому считают, что ! Кроме того, при функция убывает (в чём легко убедиться на примере и натуральных показателях), а при — возрастает (возьмите ).