Web-Fonts not available -- using image fonts instead
0

Основные определения

Радианная мера угла

Рассмотрим рис., на котором изображена единичная окружность (т.е. окружность с центром в начале координат и радиусом 1). Возьмём точку на пересечении луча, проедённого под углом к горизонтали, и окружности. По определению радианной мерой угла считается длина дуги от точки до точки (на рисунке она выделена красным цветом).

GnT4MiCsOqfSK9hSp4vVfA==

Так как длина всей единичной окружности равна , то угол в соответствует радианам, или просто . Легко сообразить, что развёрнутый угол () равен , а прямой — . Есть ещё пара тонкостей. Считается, что углы можно отсчитывать как против часовой стрелки (тогда считается, что они положительны), так и по (тогда их берут со знаком «минус»). Кроме того, можно рассмотреть углы, радианная мера которых как больше , так и меньше . В этом случае мы как будто наматываем нить на окружность, каждый раз обнуляя счётчик, проходя через . Так, угол в рад равен и т.д. Обратите внимание, что точка единичной окружности, соответствующая углу 0 радиан, имеет координаты .

Упражнения. Переведите в градусную меру

;

;

;

;

;

.

Определение тригонометрических функций

Возьмём точку на пересечении луча, проведённого под углом (вообще говоря, в радианах, хотя можно сначала оперировать градусами) к горизонтали, и окружности (см. рис.).

+CKiw5knRjVbdti+8SjVLg==

Её координата по оси называется косинусом угла и обозначается как , а по оси синусом , что обозначается как . Поэтому , если соответствующая точка попадает в I и IV четверти, а в четвертях II и III . Сообразите, в каких четвертях будет положителен синус, а в каких отрицателен. Очень полезно осознать, что , .

Выясним, как определить синус и косинус угла , у которого . Начнём с . Так как это длина всей единичной окружности, то конец дуги в радиан попадёт в точку с координатами . Поэтому . В общем случае надо подобрать такое целое число (число полных оборотов), что . Тогда точки единичной окружности, соответствующие углам и , будут совпадать. Значит, и значения тригонометрических функций от них будут равны. Короче это можно записать так:

привсех

что называется периодичностью тригонометрических функций, а число — их периодом.

Вообще говоря, периодом периодической функции называется наименьшее положительное число , для которого выполнено равенство при всех значениях . Поэтому мы должны бы были показать, что если , то найдётся хотя бы одно значение , при котором равенство нарушается, но мы этого делать не будем.

На следующих рисунках приведены графики синуса и косинуса.

График синуса

График синуса

График косинуса

График косинуса

Наряду с функциями синуса и косинуса рассматривают их отношения: тангенс и котангенс: . Очевидно,

Обратите внимание, что тангенс не определён там, где косинус обращается в нуль, а именно в точках , а котангенс — там, где синус обращается в нуль, т.е. точках . Ниже приведены графики тангенса и котангенса.

График тангенса

График тангенса

График котангенса

График котангенса

Период функций тангенс и котангенс равен .

Основное тригонометрическое тождество

Так как и — это катеты прямоугольного треугольника с единичной гипотенузой, то из теоремы Пифагора следует тождество

которое принято называть основным тригонометрическим тождеством.

С помощью него можно получить ещё два тождества:

Действительно,

Второе тождество проверяется аналогично.

Важные углы

Рассмотрим треугольник на рис. По определению координаты точки — это и . Давайте их вычислим. Прежде всего заметим, что угол прямоугольного треугольника при вершине равен . Поскольку сумма углов треугольника , а наш треугольник прямоугольный, то угол при вершине тоже равен . Значит, это равнобедренный треугольник и его катеты равны, т.е. . Длину катета можно посчитать, опираясь на теорему Пифагора, по которой квадрат гипотенузы 1 равен сумме квадратов катетов, т.е.

Следовательно, .

Обратите внимание, что

9J7+kmiH0EiLAcUOKK1/IQ==

Рассмотрим треугольник на рис. Ясно, что координаты точки — это и . Вычислим их. Прежде всего заметим, что угол прямоугольного треугольника при вершине равен . Поскольку сумма углов треугольника , а наш треугольник прямоугольный, то угол при вершине равен . Достроим треугольник до равностороннего треугольника , проделав симметрию относительно прямой . Тогда будет высотой и медианой равностороннего треугольника, откуда . вычисляем по теореме Пифагора

PqR9P3grNJAEt7W27pwl3w==

Значит,

Чётность

Самые простые формулы — это (нечётность) и (чётность). Эти формулы легко увидеть на тригонометрическом круге (рис.).

zaPn4hp5FGN1+l4fCCnnCw==

Отметим точку на окружности с углом и точку под углом . Получили два равных прямоугольных треугольника (почему эти треугольники равны?). Так как -координаты точек и равны, то . -координаты этих точек равны по абсолютной величине , но противоположны по знаку, поэтому . При этом тангенс и котангенс будут нечётными функциями, как отношения чётной и нечётной функций.