Loading web-font TeX/Math/Italic
0

Основные определения

Радианная мера угла

Рассмотрим рис., на котором изображена единичная окружность (т.е. окружность с центром в начале координат и радиусом 1). Возьмём точку Pα на пересечении луча, проедённого под углом α к горизонтали, и окружности. По определению радианной мерой угла α считается длина дуги от точки (1,0) до точки Pα (на рисунке она выделена красным цветом).

GnT4MiCsOqfSK9hSp4vVfA==

Так как длина всей единичной окружности равна 2π1=2π, то угол в 360 соответствует 2π радианам, или просто 2π. Легко сообразить, что развёрнутый угол (180) равен π, а прямой — π/2. Есть ещё пара тонкостей. Считается, что углы можно отсчитывать как против часовой стрелки (тогда считается, что они положительны), так и по (тогда их берут со знаком «минус»). Кроме того, можно рассмотреть углы, радианная мера которых как больше 2π, так и меньше 2π. В этом случае мы как будто наматываем нить на окружность, каждый раз обнуляя счётчик, проходя через 2π. Так, угол в 2π+π/4 рад равен π/4 и т.д. Обратите внимание, что точка P0 единичной окружности, соответствующая углу 0 радиан, имеет координаты (1,0).

Упражнения. Переведите в градусную меру

±π/4;

±π/2;

±π/6;

±π/3;

±3π/4;

±3π.

Определение тригонометрических функций

Возьмём точку Pα на пересечении луча, проведённого под углом α (вообще говоря, в радианах, хотя можно сначала оперировать градусами) к горизонтали, и окружности (см. рис.).

+CKiw5knRjVbdti+8SjVLg==

Её координата по оси x называется косинусом угла α и обозначается как cosα, а по оси yсинусом α, что обозначается как sinα. Поэтому cosα>0, если соответствующая точка попадает в I и IV четверти, а в четвертях II и III cosα<0. Сообразите, в каких четвертях будет положителен синус, а в каких отрицателен. Очень полезно осознать, что sin0=0,sinπ/2=1,sin(π/2)=1,sinπ=0, cos0=1,cos(±π/2)=0,cosπ=1.

Выясним, как определить синус и косинус угла α, у которого |α|2π. Начнём с 2π. Так как это длина всей единичной окружности, то конец дуги в 2π радиан попадёт в точку с координатами (1,0). Поэтому sin2π=0,cos2π=1. В общем случае надо подобрать такое целое число k (число полных оборотов), что |αk2π|<2π. Тогда точки единичной окружности, соответствующие углам α и αk2π, будут совпадать. Значит, и значения тригонометрических функций от них будут равны. Короче это можно записать так:

sin(2π+α)=sinα, cos(2π+α)=cosα, при всех α

что называется периодичностью тригонометрических функций, а число 2π — их периодом.

Вообще говоря, периодом периодической функции f(x) называется наименьшее положительное число T, для которого выполнено равенство f(x+T)=f(x) при всех значениях x. Поэтому мы должны бы были показать, что если 0<T<2π, то найдётся хотя бы одно значение α, при котором равенство sin(T+α)=sinα нарушается, но мы этого делать не будем.

На следующих рисунках приведены графики синуса и косинуса.

График синуса

График синуса

График косинуса

График косинуса

Наряду с функциями синуса и косинуса рассматривают их отношения: тангенс tgα=sinαcosα и котангенс: ctgα=cosαsinα. Очевидно,

tgαctgα=1.

Обратите внимание, что тангенс не определён там, где косинус обращается в нуль, а именно в точках π2+kπ,kZ, а котангенс — там, где синус обращается в нуль, т.е. точках kπ,kZ. Ниже приведены графики тангенса и котангенса.

График тангенса

График тангенса

График котангенса

График котангенса

Период функций тангенс и котангенс равен π.

Основное тригонометрическое тождество

Так как cosα и sinα — это катеты прямоугольного треугольника с единичной гипотенузой, то из теоремы Пифагора следует тождество

cos2α+sin2α=1,

которое принято называть основным тригонометрическим тождеством.

С помощью него можно получить ещё два тождества:

tg2α+1=1cos2α,

ctg2α+1=1sin2α. Действительно,

tg2α+1=sin2αcos2α+cos2αcos2α=sin2α+cos2αcos2α=1cos2α,

Второе тождество проверяется аналогично.

Важные углы

Рассмотрим треугольник OAP на рис. По определению координаты точки P — это cosπ/4 и sinπ/4. Давайте их вычислим. Прежде всего заметим, что угол прямоугольного треугольника OAP при вершине O равен π/4=45. Поскольку сумма углов треугольника 180, а наш треугольник прямоугольный, то угол при вершине P тоже равен π/4=45. Значит, это равнобедренный треугольник и его катеты равны, т.е. sinπ/4=cosπ/4. Длину катета можно посчитать, опираясь на теорему Пифагора, по которой квадрат гипотенузы 1 равен сумме квадратов катетов, т.е.

1=cos2π/4+sin2π/4=cos2π/4=2cos2π/4cos2π/4=12.

Следовательно, sinπ/4=cosπ/4=12=22.

Обратите внимание, что tgπ/4=ctgπ/4=1

9J7+kmiH0EiLAcUOKK1/IQ==

Рассмотрим треугольник OAP на рис. Ясно, что координаты точки P — это cosπ/3 и sinπ/3. Вычислим их. Прежде всего заметим, что угол прямоугольного треугольника OAP при вершине O равен π/3=60. Поскольку сумма углов треугольника 180, а наш треугольник прямоугольный, то угол при вершине P равен π/6=30. Достроим треугольник OAP до равностороннего треугольника OPB, проделав симметрию относительно прямой PA. Тогда PA будет высотой и медианой равностороннего треугольника, откуда |OA|=cosπ/3=1/2. sinπ/3 вычисляем по теореме Пифагора

PqR9P3grNJAEt7W27pwl3w==

sinπ/3=1(12)2=34=32.

Значит,

tg(π/3)=sin(π/3)cos(π/3)=3/21/2=3,
ctg(π/3)=13.

Чётность

Самые простые формулы — это sin(α)=sinα (нечётность) и cos(α)=cosα (чётность). Эти формулы легко увидеть на тригонометрическом круге (рис.).

zaPn4hp5FGN1+l4fCCnnCw==

Отметим точку P на окружности с углом α и точку P под углом α. Получили два равных прямоугольных треугольника OPA=OPA (почему эти треугольники равны?). Так как x-координаты точек P и P равны, то cosα=cos(α). y-координаты этих точек равны по абсолютной величине (|AP|=|AP|), но противоположны по знаку, поэтому sin(α)=sinα. При этом тангенс и котангенс будут нечётными функциями, как отношения чётной и нечётной функций.