29

1 Арифметические задачи и текстовые задачи на проценты

Навыки, проверяемые заданием типа 1 “Арифметические задачи”

Применение математических методов для решения содержательных задач. Интерпретация результата, учет реальных ограничений.
Встречающиеся элементы содержания: целые числа, дроби, проценты, рациональные числа.

Округление числа до данного разряда

Округление — математическая операция, позволяющая уменьшить количество знаков в записи числа за счёт его замены приближённым значением с определённой точностью.

Число в десятичной записи огругляется до n-ого знака по следующему правилу:

  • если (n+1)-й знак меньше 5, то n-й знак сохраняется, а все следующие, начиная с (n+1)-го обнуляются (отбрасываются);

  • если (n+1)-й знак больше либо равен 5, то n-й знак увеличивается на 1, а все следующие, начиная с (n+1)-го обнуляются (отбрасываются).

Примеры:

1) Округлить число до сотых.
Так как округлить надо до 2-го знака после запятой, то смотрим на значение 3-го знака. Он равен 8. Так как , то 2-й знак увеличивается на единицу: .

2) Округлить число до тысячных.
Так как округлить надо до 3-го знака после запятой, то смотрим на значение 4-го знака. Так как он равен 5, то по второй части правила 3-й знак увеличивается на единицу: .

3) Округлить число до целого.
При округлении до целого смотрим на значение 1-го знака после запятой. Здесь он равен 2. Так как , то количество целых остается неизменным: .

Основные виды заданий типа 1

В задачах типа 1 чаще всего встречаются задания двух типов.

Округление с недостаком (округление к меньшему)
В задачах на покупку каких-либо неделимых предметов, вроде:
“Сколько предметов по цене рублей за штуку можно купить на рублей?” — ответом будет являться наибольшее целое число, не превосходящее результат деления на (округление до целого в меньшую сторону), так как часть такого предмета купить невозможно.

Округление с избытком (округление к большему)
В задачах на размещение чего-либо по нескольким неделимым предметам, вроде:
“Сколько -местных шлюпок понадобится, чтобы разместить людей?” — ответом будет наименьшее целое число, больше, либо равное результату деления на (округление до целого в большую сторону).

Основные ошибки

1) сдающие, получив дробный результат, округляют его не в ту сторону;

3) допускают ошибки при сокращени дробей.

Навыки, проверяемые заданием типа 1 “Текстовые задачи на проценты”

Применение математических методов для решения содержательных задач. Интерпретация результата, учет реальных ограничений.
Встречающиеся элементы содержания: целые числа, дроби, проценты, рациональные числа.

Проценты

Процентом от числа называется одна сотая часть этого числа.

от равен .

Сама величина составляет 100 сотых или 100% от самой себя.

Обозначение обретает конкретное числовое значение только тогда, когда указана величина, от которой берется процентов. Например, бессмысленно спрашивать, что больше, или , пока не сказано, от какой величины эти проценты берутся. от 1000 кг больше, чем от 300 кг.

Найти x% от числа A.
Так как 1 процент — это одна сотая часть числа, то для нахождения от числа, нужно это число умножить на .

от числа равны

Найти A, если х% от него составляют B.
Так как от равны , то из уравнения можем найти :

Сколько процентов от числа A составляет число B?
Так как от равны , то из уравнения можем найти :

Число A увеличилось на x процентов.
Это значит, что к числу прибавилось еще от него же: .

увеличенное на равно

уменьшенное на равно.

Примеры:

1) В классе 30% учеников поехали на олимпиаду по математике. Сколько процентов учеников не поехали на эту олимпиаду?
Решение:
Примем общее количество учеников за 100%. Тогда не поехали на олимпиаду процентов учеников.
Ответ: 70.

2) Найти от 75.
Решение:
. Значит, от 75 равно 9.
Ответ: 9.

3) В классе 9 учеников не справились с контрольной, что составило от общего числа учеников. Сколько учеников в классе?
Решение:
Пусть в классе учеников. Тогда . Откда .
Ответ: 30.

4) Из 300 страниц книги Антон прочел 69. Какой процент книги он прочел?
Решение:
Пусть он прочел книги. Тогда . Откуда .
Ответ: 69.

5) Зимой килограмм яблок стоил 50 рублей. Летом цена на них снизилась на 20%. Сколько рублей стал стоить килограмм яблок летом?
Решение:
Цена яблок летом составила рублей.
Ответ: 40 рублей.

Основные ошибки

1) сдающие путают, какую величину принимать за 100%;

2) допускают ошибки при сокращении дробей.